Senin, 14 Februari 2011

logika matematika

Logika Matematika

A.PERNYATAAN

Latihan 1

Tentukan manakah yg merupakan pernyataan.

1. Jakarta mendapat julukan kota banjir.
1.      Jawab: pernyataan (benar)

2. Barcelona adalah sebuah kota di Italia.
2.       jawab : pernyataan (benar)

3. 22 + 32 = 52
3.      jawab : pernyataan (salah)

4. 256 merupakan bilangan kuadrat.
4.      Jawab : pernyataan (benar)

5. Siapa namamu?
5.      Jawab: bukan pernyataan


6. Ada 356 hari dalam setahun.
6    Jawab: pernyataan (benar)
7. 3 + a2 ≤ 12
7    Jawab: kalimat terbuka

8. Suara piano enak didengar.
8        Jawab: bukan pernyataan














B.KALIMAT TERBUKA
Latihan 2

Tentukan x agar kal terbuka berikut ini bernilai Benar.

1.      3x > 12  = benar
X ={5,6,7,…}
Jadi 3x > 12 = 3 (5) > 12 = 15>12
                     = 3 (6) > 12 =18 > 12
                     = 3 (7) > 12 = 21 > 12 ,dst.
Hp : {5,6,7,…}
2.     Kata MATEMATIKA terdiri dari x huruf.
X ={6}   , sehingga kata MATEMATIKA terdiri dari 6 huruf, (MATEIK)
Hp : {6}
3.     2log x = 5
X = {32}, sehingga 2 log 32 = 5
Hp : {32}
4.     Volume kubus yg rusuknya 3 cm adalah x cm3.
X = {27}, sehingga volume kubus yang rusuknya 3 cm adalah 27 cm3.
Hp : {27}
5.     Jumlah pemain sepak bola tiap tim adalah x orang.
X = {11} , sehingga jumlah pemain sepak bola tiap tim adalah 11 orang.

Tentukan x agar kal terbuka berikut ini bernilai Salah.

6.     x2 – 3x – 4 = 0
X = {1,2,3}
Jadi  misal: x = (1) = x2-3x-4 =0
                               = 12-3(1)-4 = 0
                                -6 = 0 (Salah)
7. 3x – 7 < 5x + 1
     3x - 5x < 8
     -2x < 8
x < -4
x > -4
xó {-5, -6, …}



8. log 1000 = x
X = {2}, sehingga log 1000 =2
Hp : {2}
9. Ibukota Inggris adalah x.
X = {Washington DC}, sehingga Ibukota Inggris adalah Washington DC.
Hp : { Washington DC}








































C.NEGASI (-)

Latihan 3

Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut ini.

1. 2 adalah bilangan prima genap.
Jawab: ( benar )

2. Danau Toba terletak di Palembang.
Jawab: ( salah )

3. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.
Jawab: ( salah )

4. 2 + (3 + 8) = (2 + 3) + 8
 Jawab: ( benar )

Tentukan penyelesaian kalimat terbuka berikut:

5.      X2+4 >0
X = {0,1,2,…}  kalimat terbuka bernilai benar
X=(0) = 02+4>0                (2) = 22+4>0
           = 4>0                            = 8>0
X = (1) = 12+4>0
            = 5>0 ,Jadi Hp :{0,1,2,…}
6.     4a – 1 = 19
a= {5} kal.terbuka bernilai benar
a(5) = 4(5)-1 =19
             19     = 19 . Jadi Hp : {5}
7.        3a + 1 = 7 dan a bilangan prima ganjil.
a={2}  kal.terbuka bernilai salah ,karena 2 merupakan bilangan prima genap.
3(2)+1 =7  . Jadi Hp : {2}



8.  X2+25 41
X = {4}   kal.terbuka bernilai benar
(4)2 +25 = 41   . Jadi Hp : { 4}

Tentukan negasi dan nilai kebenaran dari:

9. Bunga mawar pasti berwarna merah.

P : Bunga mawar pasti bewarna merah
-p : bunga mawar tidak pasti bewarna merah.
10. 5x + 32 = 18 adalah persamaan kuadrat.

P : 5x + 32 = 18 adalah persamaan kuadrat
-p : 5x +32  = 18 adalah persamaan kuadrat.
11. Musim hujan tahun ini akan berlangsung lama.

P : Musim hujan tahun ini akan berlangsung lama
-p : Musim hujan tidak akan berlangsung lama.


































D.KONJUNGSI (Ù)
latihan 4

1.      Diketahui beberapa pernyataan :

   p: Kutub senama magnet akan salaing tolak.
   q: Indonesia adalah Negara ASEAN.
   r: π adalah bilangan ganjil.
Tentukan  nilai kebenaran dari :
a.      p Ùq   : Kutub senama magnet akan saling tolak dan Indonesia adalah Negara ASEAN.
b.      p Ù r   : Kutub senama magnet akan saling tolak dan π adalah bilangan ganjil.
c.       p Ù -q :  Kutub senama magnet akan saling tolak dan Indonesia bukan Negara ASEAN.                      
d.      –q Ù r : Indonesia bukan Negara ASEAN dan π adalah bilangan ganjil.

2.      Tentukan nilai x pada kal.terbuka berikut ini agar p(x) Ù q bernilai benar :

a.       p: 4x-2 > 10

q: (6+4)2 ¹62+42
x = {4}, maka p(x) Ùq kal.terbuka bernilai benar
Jadi x (4) = p: 4(4)-2 > 10
Hp : {4}

b.      p: x2= 81

q: 23.42 = 27
x = {9} , jadi p(x) Ùq = (9)2=81
Hp : {9}
Tentukan nilai x agar konjungsi berikut bernilai benar.

3.      4x-7=3 dan 9-3=6

p   : 4x-7=3
q   : 9-3=6  (B)
x=  , maka p(x)Ùq bernilai benar.

4.      Jakarta adalah Ibukota Indonesia (B) dan 5x = 15.

X = {3}, sehingga 5x = 15   = 5(3)=15 , maka bernilai benar.

5.      4x=12 dan 23.42=27

X = {3}, sehingga p(x)Ùq = 4(3)=12 , maka bernilai benar.
Tentukan nilai x agar konjungsi ini bernilai salah.

6.      4x=12 dan 45-8=37(B)

4x-12,
Jadi   x¹3  , maka kal. Terbuka bernilai salah.

7.      Singa berkaki empat (B) dan 2x+3 = 15.

2x+3 =15
2x= 15-3
Jadi X ¹ 6 , maka bernilai salah.

8.      3x > 18 dan bensin adalah zat cair (B)

3x > 18, x ≤6
Jadi x≤ 6, maka bernilai salah.

9.      X2-12+20 = 0 dan 5+7 =12 (B).

Jadi X ¹ 10, maka bernilai salah.
























E.DISJUNGSI (Ú)
Latihan 5

Tentukan nilai kebenaran dari tiap disjungsi berikut ini.

1.      3 adalah bilangan prima atau 4 bilangan genap.

p : 3 adalah bilangan prima  (B)
q : 4 bilangan genap (S)
maka pÚqº (B) Ú (S) º (B)

2.      3 x 32 = 34 atau 4 faktor dari 12.

P : 3 x 32 = 34      (S)
Q : 4 faktor dari 12. (B)
Maka pÚqº (S) Ú (B) º (B)

3.      Manusia berkaki dua v Rubin adalah presiden Yunani.

p : Manusia berkaki dua (B)
q : Rubin adalah presiden Yunani. (B)
maka pÚqº (B) Ú (B) º (B)

4.      Jika p bernilai Salah dan q Benar, tentukan nilai kebenaran dari :

a. p Ú q º (S) Ú (B) º (B)
b. p Ú -q º (S) Ú (S) º (S)
c. –(-q Ú p) º -( (S) Ú (B) ) º -(B) º (S)
Carilah nilai x agar tiap disjungsi berikut ini bernilai benar

5.      2x+1 = 13 atau 3-3=1

p : 2x+1 = 13  
q : 3-3 = 1          (S)
disjungsi bernilai benar, maka nilai x = 6 (B) . Jadi 2 (6) +1 =13

6.      X2-36 = 0 atau 7 adalah bilangan prima.

p : x2-36 = 0
q : 7 adalah bilangan prima (B)
disjungsi bernilai benar ,maka nilai x = 6 (B) . Jadi (6)2-36=0

7.      8-x3 = 0 atau 3 adalah faktor dari 28.

p : 8-x3 = 0
q : 3 adalah faktor dari 28 (B)
disjungsi bernilai benar , maka nilai x = 2 (B). Jadi 8-(2)3=0
Carilah nilai x agar tiap disjungsi berikut bernilai salah.

8.      20-x = 9 atau 48x 2 = 96

p : 20-x = 9
-q : 48x 2 ¹ 96 (S)
disjungsi bernilai salah maka nilai x ¹ 11.

9.      4x > 20 atau 122 = 144

p : 4x > 20
-q : 122 ¹ 144
Disjungsi bernilai salah , maka nilai x ≤ 5

10.  4-x = 7 atau kubus mempunyai 12 rusuk.

p : 4-x = 7
-q : kubus tidak mempunyai 12 rusuk
Disjungsi bernilai salah , maka x ¹ (-3)

11.  Buatlah table kebenaran dari :

a.       –p Ú q
p
q
-p
-pÚq
B
B
S
B
B
S
S
S
S
B
B
B
S
S
B
B










b.      (pÙ-r) Ú q
p
q
r
-r
(pÙ-r)
(pÙ-r)Úq
B
B
B
S
S
B
B
B
S
B
B
B
B
S
B
S
S
S
B
S
S
B
B
B
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
S
S
S
S
S
S
B
S
S



























F.IMPLIKASI (→)
LATIHAN 6

1.     Jika 4 + 5 = 9 maka 5 x 6 = 30

4 + 5 = 9 (benar)
5 x 6 = 30(benar)
B ® B = B (Benar)

2.     Jika 3 adalah faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5.

3 adalah faktor dari 12(benar)
12 habis dibagi 5(salah)
B ®  S = S (salah)

3.     Jika 3 x 2 < 8 maka 8 bilangan genap

3 x 2 < 8
6 < 8 (benar)
8 bilangan genap (benar)
B ® B = B (Benar)

4.   Jika p bernilai Salah, q Benar, dan r Benar, maka tent.nilai kebenaran dari :

a.       p→q º (S) →(B) º (B)
b.      -q→ -p º (S) → (B) º (B)
c.       –q Ú (r→p) º (S) Ú (B→S) º (S) Ú (S) º (B)
5.     Tentukan x agar implikasi berikut ini menjadi Benar :
a.       Jika 2x + 1 = 9 maka 5 +3 = 8
p : 2x + 1 = 9 (B) , maka x ¹ 4
q : 5 +3 = 8 (B)
p→qº (B)→(B) º (B)
b.      Jika 72 – 3 = 45 maka 5x = 40
p : 72 – 3 = 45 (S)
q : 5x = 40 (B) , x = sembarang angka (real)
p→qº (S) →(B) º (B)

c.       Jika 15-6=9 maka 4x-3=3x
p: 15-6=9  (B)
q: 4x-3=3x (B), maka x =3
p→qº (B) → (B) º (B)



6.     Tentukan nilai x agar menjadi Implikasi yg Salah:

a. Jika 2x + 1 = 9 maka 5 + 3 = 8
2x + 1 = 9
2x=8
X=4(Benar)
5 + 3 = 8 (Benar)
Agar manjadi implikasi yang salah maka 5+3¹8(Salah)
(Benar) ®(Salah)= Salah

b. Jika 72 – 3 = 45 maka 5x = 40
72 – 3 = 45 (Benar)
5x = 40
X=8
agar implikasi itu bernilai  salah  maka x ¹ 8 (salah)
(Benar) ®(Salah)= Salah

c. Jika 15 – 6 = 9 maka 4x – 3 = 3x
15 – 6 = 9(Benar)
4x – 3 = 3x
4x-3x=3
X=3
agar implikasi itu bernilai  salah maka x ¹ 3

7. Buatlah tabel kebenaran dari:

a.      p → ~q
p
q
~q
p ® ~q
B
B
S
S
B
S
B
B
S
B
S
B
S
S
B
B












b.     (~p Ùr) ® q

p
q
r
~P
~p Ùr
(~p Ùr) ® q
B
B
B
S
S
B
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
B
S
B
B
B
B
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
S
S
S
S
B
S
B

8.  Periksalah, apakah pernyataan berikut ini ekuivalen?

a. ~(p Ù q) dan ~p Ú ~q

p
q
~P
~q
~(p Ù q)
~p Ú ~q
B
B
S
S
S
S
B
S
S
B
B
B
S
B
B
s
B
B
S
S
B
B
B
B

pernyataan diatas ekuivalen

b~(p → q) dan p  Ù ~q

p
q
~q
~(p → q)
P Ù ~q
B
B
S
S
S
B
S
B
B
B
S
B
S
S
S
S
S
B
S
S











G. BIIMPLIKASI
Latihan 7

1.     3 adalah bil ganjil jika dan hanya jika 3 faktor 15.

3 adalah bil ganjil (benar)
3 faktor 15. (benar)
B« B=B (Benar)

2.     3 + 8 = 11 jika dan hanya jika 11 habis dibagi 2.

            3 + 8 = 11(benar)
11 habis dibagi 2.(salah)
B« S=S (salah)

3.     Jika p Benar dan q Salah, tentukanlah kebenaran dari :

a.              ~p ↔ q        

Jwb:S« S= B (Benar)

b.              b. ~(q ↔ p)

jwb:~(S«B)=~(S)=B (Benar)

Tentukan nilai x agar biimplikasi berikut ini menjadi Salah:

4.     x – 3 = 5 jika dan hanya jika 4 > 5

x – 3 = 5
x=8(Benar)

4 > 5
4 lebih besar dari 5 itu salah
Jadi B« S=S (salah)

5.     X2– 4 = 0 jika dan hanya jika X2 – 5x + 6 = 0
X2 = 4
X = 2
X tidak sama dengan 3





6.     24x = 72 jika dan hanya jika 5 bilangan prima.

24x = 72
X=3 dimisalkan x= 3 berarti (Benar), Agar pernyataan ini bernilai salah maka nilai x¹3 (salah)

5 bilangan prima
5 adlah bilangan prima itu (Benar)
S« B=S (salah)






































H. KONVERS,INVERS,KONTRAPOSISI

Latihan 8

Tentukan konver, invers, dan kontra posisi dari:

1.     Jika saya lapar maka saya makan.

konvers:jika saya makan maka saya lapar
          Invers:jika saya tidak lapar maka saya tidak makan
          Kontra posisi:jika saya tidakmakan maka saya tidak lapar

2.     Jika x = 5 maka x2 = 25

konvers: jika x2=25 maka x=5
Invers:jika x ¹ 5 maka x2 ¹ 25
Kontra posisi:jika x2 ¹ 25 maka x ¹ 5

3.     Jika x > 3 maka x2 > 9

konvers: jika x2 > 9 maka x > 3
Invers:jika x tidak lebih dari 3 maka x tidak lebih dari 9
Kontra posisi:jika x tidak lebih dari 9 maka x tidak lebih dari 3

4.     Jika monyet makan nasi maka saya makan nasi.

konvers:jika saya makan nasi maka monyet makan nasi
Invers:jika monyet tidak makan nasi maka saya tidak makan nasi
Kontra posisi:jika saya tidak makan nasi maka monyet tidak makan nasi

5.     Tentukan konvers dan kontra posisi dari:

a.     p ® ~q

Konvers: ~q® p
Kontra posisi: q ® ~p

b.     ~p → q

Konvers: q ® ~p
Kontra posisi: ~q® p




c.     ~p → ~q

konvers:~q ® ~p
Kontra posisi: q ® p

d.     (p Ù q) → r

konvers: r® (p Ù q)
Kontra posisi : ~r® ~(p Ùq)





































I. KUANTOR

Latihan 9

Tambahkanlah kata kuantor yang tepat agar menjadi Benar:

1. log x = 2
Jawab: (x) , log x = 2

2. 1x = 1
Jawab:(x) , 1x  = 1

3. 14 – x = 10
Jawab: (x),14 – x =10

4. Benda x akan jatuh bebas vertikal menuju pusat bumi.

Jawab:setiap benda x akan jatuh bebas vertikal menuju pusat bumi.

5. Zat cair x akan terasa panas jika dibakar.

Jawab:semua Zat cair x akan terasa panas jika dibakar.

6.Contoh kalimat berkuantor umum dan khusus:

Jawab:

Kuantor umum:Setiap hari si Y pergi ke perpustakaan.

Kuantor khusus:Beberapa anak-anak akan pergi ke perpustakaan.
















J. MODUS PONENS, TOLLENS, SILOGISME
Latihan 10

Periksa sah atau tidak argumentasi berikut ini.

1.       P1: Jika ada gula maka ada semut.
P2: Tidak ada semut
 Tidak ada gula

Misal P1= p®q
        P2=~q
~p
Jadi pernyataan  diatas sah


2.       P1: Jika orang bekerja keras maka uangnya banyak
P2: Ferry seorang pekerja keras.
 Ferry uangnya banyak.

Misal P1=p®q
        P2=p
   q
Jadi pernyataan  diatas sah


4.       P1: Jika hari hujan maka Sandra memakai payung.
P2: Sandra memakai payung sekarang.
Hari ini hujan.

Misal P1=p®q
        P2=q
  p
Jadi pernyataan  diatas sah

5. Dengan menggunakan tabel kebenaran, periksalah sah atau
tidak tiap argumentasi berikut ini.

a. p ® q
   ~p
 ~q
 Argumentasi ini Sah

p
q
~p
~q
p ® q
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
B
B

b.~q ® p                         
     q~p               
   q
Argumentasi ini Tidak sah

p
q
~p
~q
q~p
p ® q
B
B
S
S
B
B
B
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
S
B
B
B
B

a. p ® q
   q ® ~r
 p ® ~r

Argumentasi ini Sah

p
q
r
~p
~q
~r
p ® q
q ® ~r
p ® ~r
B
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
B
B
B
B
B
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
B
S
S
B
B
B
S
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
B
B
6. Periksa apakah pernyataan berikut merupakan tautologi:
a. (~p → ~q) ↔ (q → p)
pernyataan ini merupakan TAUTOLOGI

p
q
~p
~q
~p → ~q
q ® p
(~p → ~q) ↔ (q → p)
B
B
S
S
B
B
B
B
S
S
B
B
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B

b.        ~(pq) « (~p~q)
pernyataan ini merupakan TAUTOLOGI


p
q
~p
~q
(pq)
~(pq)
~p~q
~(pq) « (~p~q)
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
B
B
S
B
B
S
S
B
B
B
S
S
B
B
S
B
B
B


EVALUASI


1. Negasi dari “Semua siswa ingin naik kelas”
adalah:beberapa siswa  tidak ingin naik kelas

2. Invers dari ”Jika guru tidak datang maka siswa senang”
adalah:jika guru datang maka siswa tidak senang

3. Kontra posisi ”Jika lampu merah maka mobil berhenti”
adalah:jika mobil itu tidak berhenti maka lampu tidak merah

4. Konvers dari ”Jika Cahya lincah maka ia pebasket”
adalah:jika ia pebasket maka Cahya lincah

5. Agar x – 4 = 9  42 – 8=32 menjadi Benar maka x=13
         
x – 4 = 9
x=13 (benar)
42 – 8=32 (salah) agar bernilai benar maka 42 - 8 ¹ 32 (benar)
B B=B (Benar)

6. Agar x – 4 = 9  42 – 8 = 32 menjadi Benar maka x =13
x – 4 = 9
          x=13  dimisalkan x=13 bernilai (benar)
42 – 8=32 (salah)
B  S=B (Benar)

7. Agar x – 4 = 9 → 42 – 8 = 32 menjadi Benar maka x ¹ 13
 (®)




jadi x – 4 = 9
          x=13  dimisalkan x=13 bernilai (benar) agar menjadi bernilai salah maka x ¹13 (salah)

42 – 8=32 (salah)
S®S=B(Benar)

8. Agar x – 4 = 9 « 42 – 8 = 32 menjadi Benar maka x ¹ 13
jadi
x – 4 = 9
          x=13  dimisalkan x=13 bernilai (benar) agar menjadi bernilai salah maka x ¹13 (salah)
42 – 8=32 (salah)
S«S=B(Benar)

9. Kalimat ”Jika Sarah rajin maka ia akan sukses” ekuivalen
Dengan: sarah rajin dan ia akan sukses

10. Jika ”
P1: Jika siswa tidak belajar maka ia akan gagal.
 P2: Indra sudah belajar.
p ® q
~p
~q
Kesimpulan: Indra tidak akan gagal

11. Dengan membuat tabel kebenaran, selidiki sah atau tidak
penarikan kesimpulan berikut ini:

a.       Mayta akan belajar Matematika atau Geografi (p q)

Mayta tidak belajar Geografi (~q)

Jadi: Mayta belajar Matematika
~p ® q
~q
p
Penarikan kesimpulan sah

p
q
~p
~q
p q
~p ® q
B
B
S
S
B
B
B
S
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
S



b.       Jika Ale pintar menyanyi maka ia kuliah di Eropa 
Ale pintar menyanyi dan ia kuliah di Singapore
Jadi: Ale tidak kuliah di Eropa    
Penarikan kesimpuan tidak sah

p
q
r
~p
~q
~r
p ® q
( p Ù r )
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
B
S
S
S
B
B
S
S
S
B
B
B
S
S
B
S
S
B
S
B
S
B
B
S
S
S
B
B
B
S
B
S
S
S
S
B
B
B
B
S


Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)